Критерий интегрируемости для одного разбиения

$$\forall{\tau}\mathpunct{:}~~ \overline{S}_{\tau} \leq \overline{S}_{\tau \cup \{c\}} + 2M \cdot \lambda(\tau)$$ где $M = \sup\limits_{x \in [a, b]}|f(x)|$

Визуализация изменения верхней суммы Дарбу при добавлении точки $c$: !darboux_sum.png

$f(x)$ - интегрируема $\iff$ $\forall{\varepsilon > 0}~~ \exists{\tau}\mathpunct{:}~~ \overline{S}_{\tau} - \underline{S}_{\tau} < \varepsilon$

$\Large\implies$ очевидно, из критерия интегрируемости для всех разбиений $\Large\impliedby$ Пусть $M = \sup\limits_{x \in [a, b]}|f(x)|$. Возьмём $\tau_{1}$ такое, что $\overline{S}_{\tau_{1}} - \underline{S}_{\tau_{1}} < \varepsilon_{1} = \dfrac{\varepsilon}{2}$. Также возьмём все $\tau_{2}$ такие, что $\forall{\varepsilon > 0}~~ \exists{\delta}~~ \forall{\tau_{2}}\mathpunct{:}~~ \lambda(\tau_{2}) < \delta$ Пусть $\tau_{3} = \tau_{1} \cup \tau_{2}$, тогда $\overline{S}_{\tau_{3}} \leq \overline{S}_{\tau_{1}}$ и $\underline{S}_{\tau_{3}} \geq \underline{S}_{\tau_{1}}$ Скажем, что $|\tau_{3}| - |\tau_{2}| = n$, тогда из замечания выше следует, что: - $\overline{S}_{\tau_{2}} \leq \overline{S}_{\tau_{3}} + 2M \cdot \lambda(\tau_{2}) \cdot n$ - $\underline{S}_{\tau_{2}} \geq \underline{S}_{\tau_{3}} - 2M \cdot \lambda(\tau_{2}) \cdot n$ Возьмём $\delta = \dfrac{\varepsilon}{8Mn}$, тогда: $$\begin{align} \overline{S}_{\tau_{2}} - \underline{S}_{\tau_{2}} &\leq (\overline{S}_{\tau_{3}} + 2M \lambda(\tau_{2})n) - (\underline{S}_{\tau_{3}} - 2M \lambda(\tau_{2})n) \\ &< \overline{S}_{\tau_{3}} - \underline{S}_{\tau_{3}} + 4Mn \cdot \delta \leq \overline{S}_{\tau_{1}} - \underline{S}_{\tau_{1}} + \dfrac{\varepsilon}{2} \\ &< \dfrac{\varepsilon}{2} + \dfrac{\varepsilon}{2} = \varepsilon \end{align}$$ $\square$